[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.5 4 0.250 0.200 4.164796D-01 8.526D-045 5 0.250 0.250 5.010257D-01 1.026D-035 6 0.250 0.300 5.732349D-01 1.173D-035 7 0.250 0.350 6.313291D-01 1.292D-035 8 0.250 0.400 6.738780D-01 1.379D-035 9 0.250 0.450 6.998337D-01 1.433D-035 10 0.250 0.500 7.085572D-01 1.450D-035 11 0.250 0.550 6.998336D-01 1.433D-035 12 0.250 0.600 6.738779D-01 1.379D-035 13 0.250 0.650 6.313290D-01 1.292D-035 14 0.250 0.700 5.732347D-01 1.173D-035 15 0.250 0.750 5.010255D-01 1.025D-035 16 0.250 0.800 4.164794D-01 8.524D-045 17 0.250 0.850 3.216781D-01 6.584D-045 18 0.250 0.900 2.189561D-01 4.481D-045 19 0.250 0.950 1.108427D-01 2.269D-04.Przedstawione porównanie omawianych w tym rozdziale i w rozdziale poprzednimmetod iteracyjnych rozwi¹zywania uk³adów równañ liniowych, pojawiaj¹cych siê wmetodach ró¿nicowych dla równañ eliptycznych, dokonane dla dwóch szczególnychzagadnieñ na rzadkich siatkach nie pozwalaj¹ na pe³ne zorientowanie siêw efektywnoœci i skutecznoœci poszczególnych metod.Liczba iteracji niezbêdnychdo uzyskania rozwi¹zania zale¿y od liczby oczek siatki i np.dla zagadnienia(7.135) po przyjêciu: liczby iteracji by³y nastepuj¹ce:- metoda Gaussa-Seidela: 976,- metoda Stone’a: 250,- optymalna metoda relaksacji: 83,- metoda sprzê¿onych gradientów: 37.Nale¿y przy tym wzi¹æ pod uwagê bardzo istotny fakt, ¿e sama liczba iteracjinie jest wystarczaj¹cym wskaŸnikiem do porównywania i oceny poszczególnychmetod iteracyjnych, gdy¿ liczba operacji arytmetycznych niezbêdnych dootrzymania nastêpnego przybli¿enia w ka¿dej metodzie jest inna.Æwiczenia7.1.Metoda jawna pierwszego rzêdu, metoda niejawna pierwszego rzêdu orazmetoda Cranka-Nicolsona dla jednowymiarowego równania dyfuzji (7.15) s¹szczególnymi przypadkami ogólnego algorytmu okreœlonego wzoremgdzie Metoda jawna pierwszego rzêdu odpowiada parametrowi metoda niejawnapierwszego rzêdu - parametrowi metoda Cranka-Nicolsona - parametrowi: Nale¿yzbadaæ stabilnoœæ tego schematu ró¿nicowego oraz udowodniæ, ¿e w szczególnymprzypadku dlab³¹d aproksymacji jest7.2.Zbadaæ stabilnoœæ schematu ró¿nicowegodla równania (7.15) z dodatkowym parametrem W przypadku sche-mat ten jestrównowa¿ny metodzie niejawnej pierwszego rzêdu.Ponadto nale¿y udo-wodniæ, ¿edla b³¹d aproksymacji równania (7.15) wynosi7.3.Wykorzystaæ zmodyfikowany program 7.1 do rozwi¹zywania równania (7.15) zwarunkiem pocz¹tkowym (7.32) i warunkami brzegowymi:Uzyskane wyniki porównaæ z rozwi¹zaniem dok³adnymgdzie7.4.Zbadaæ stabilnoœæ schematu ró¿nicowegoaproksymuj¹cego równanie falowe drugiego rzêdu7.5.Uogólniæ metody: „upwind”, skokow¹ i Laxa-Wendroffa dla dwuwymiarowegorównania adwekcji (7.86) i wyprowadziæ dla tych metod warunki nak³adane na krokczasowy7.6.Zmieniæ dzia³anie programu 7.2 w taki sposób, aby mo¿liwe by³orozwi¹zywanie jednowymiarowego równania adwekcji dla dowolnej prêdkoœcii dla dowolnego warunku pocz¹tkowego7.7.Uogólniæ schemat ró¿nicowy (7.96) dla prostok¹tnej siatki utworzonej przezproste:i nastêpnie dla tej siatki wyprowadziæ wzory dla metod iteracyjnych: Jacobiego,Gaussa-Seidela i relaksacji, których szczególnymi przypadkami bêd¹ wzory(7.104) -(7.106).7.8.Za pomoc¹ zmodyfikowanych programów 7.3 ¸ 7.5 rozwi¹zaæ równaniePoissonaz warunkami brzegowymi:Otrzymane rozwi¹zanie porównaæ z rozwi¹zaniem dok³adnym7.9.Wprowadziæ w programie 7.3 drug¹ alternatywê obliczeñ, umo¿liwiaj¹c¹wyznaczenie rozwi¹zania zagadnienia (7.108) za pomoc¹ metod iteracyjnych:Jacobiego, Gaussa-Seidela i relaksacji - otrzymanych przy wykorzystaniuschematów (7.99) do aproksymacji operatora Laplace’a7.10.Opracowaæ program komputerowy przeznaczony do rozwi¹zywania zagadnieniabrzegowego (7.108) - (7.109) metod¹ ró¿nic skoñczonych (7.100).Dorozwi¹zywania równania macierzowego (7.101) nale¿y zastosowaæ algorytm metodyeliminacji Gaussa (2.101) ¸ (2.103) z uwzglêdnieniem szczególnej postacimacierzy le¿¹cych na przek¹tnej g³Ã³wnej i przek¹tnych pobocznych.7.11.Przy wykorzystaniu programów 7.3 ¸ 7.5 przetestowaæ rozwa¿ane wrozdzia³ach 7.5 i 7.6 metody iteracyjne rozwi¹zywania siatkowych równañeliptycznych dla zagadnienia:którego rozwi¹zaniem dok³adnym jest funkcja
[ Pobierz całość w formacie PDF ]