[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.5 4 0.250 0.200 4.164796D-01 8.526D-045 5 0.250 0.250 5.010257D-01 1.026D-035 6 0.250 0.300 5.732349D-01 1.173D-035 7 0.250 0.350 6.313291D-01 1.292D-035 8 0.250 0.400 6.738780D-01 1.379D-035 9 0.250 0.450 6.998337D-01 1.433D-035 10 0.250 0.500 7.085572D-01 1.450D-035 11 0.250 0.550 6.998336D-01 1.433D-035 12 0.250 0.600 6.738779D-01 1.379D-035 13 0.250 0.650 6.313290D-01 1.292D-035 14 0.250 0.700 5.732347D-01 1.173D-035 15 0.250 0.750 5.010255D-01 1.025D-035 16 0.250 0.800 4.164794D-01 8.524D-045 17 0.250 0.850 3.216781D-01 6.584D-045 18 0.250 0.900 2.189561D-01 4.481D-045 19 0.250 0.950 1.108427D-01 2.269D-04.Przedstawione porównanie omawianych w tym rozdziale i w rozdziale poprzednimmetod iteracyjnych rozwi�zywania uk�adów równa� liniowych, pojawiaj�cych si� wmetodach ró�nicowych dla równa� eliptycznych, dokonane dla dwóch szczególnychzagadnie� na rzadkich siatkach nie pozwalaj� na pe�ne zorientowanie si�w�efektywno�ci i skuteczno�ci poszczególnych metod.Liczba iteracji niezb�dnychdo uzyskania rozwi�zania zale�y od liczby oczek siatki i np.dla zagadnienia(7.135) po przyj�ciu: liczby iteracji by�y nastepuj�ce:- metoda Gaussa-Seidela: 976,- metoda Stone�a: 250,- optymalna metoda relaksacji: 83,- metoda sprz�onych gradientów: 37.Nale�y przy tym wzi�� pod uwag� bardzo istotny fakt, �e sama liczba iteracjinie jest wystarczaj�cym wska�nikiem do porównywania i oceny poszczególnychmetod iteracyjnych, gdy� liczba operacji arytmetycznych niezb�dnych dootrzymania nast�pnego przybli�enia w ka�dej metodzie jest inna.�wiczenia7.1.Metoda jawna pierwszego rz�du, metoda niejawna pierwszego rz�du orazmetoda Cranka-Nicolsona dla jednowymiarowego równania dyfuzji (7.15) s�szczególnymi przypadkami ogólnego algorytmu okre�lonego wzoremgdzie Metoda jawna pierwszego rz�du odpowiada parametrowi metoda niejawnapierwszego rz�du - parametrowi metoda Cranka-Nicolsona - parametrowi: Nale�yzbada� stabilno�� tego schematu ró�nicowego oraz udowodni�, �e w szczególnymprzypadku dlab��d aproksymacji jest7.2.Zbada� stabilno�� schematu ró�nicowegodla równania (7.15) z dodatkowym parametrem W przypadku sche-mat ten jestrównowa�ny metodzie niejawnej pierwszego rz�du.Ponadto nale�y udo-wodni�, �edla b��d aproksymacji równania (7.15) wynosi7.3.Wykorzysta� zmodyfikowany program 7.1 do rozwi�zywania równania (7.15) zwarunkiem pocz�tkowym (7.32) i warunkami brzegowymi:Uzyskane wyniki porówna� z rozwi�zaniem dok�adnymgdzie7.4.Zbada� stabilno�� schematu ró�nicowegoaproksymuj�cego równanie falowe drugiego rz�du7.5.Uogólni� metody: �upwind�, skokow� i Laxa-Wendroffa dla dwuwymiarowegorównania adwekcji (7.86) i wyprowadzi� dla tych metod warunki nak�adane na krokczasowy7.6.Zmieni� dzia�anie programu 7.2 w taki sposób, aby mo�liwe by�orozwi�zywanie jednowymiarowego równania adwekcji dla dowolnej pr�dko�cii dla dowolnego warunku pocz�tkowego7.7.Uogólni� schemat ró�nicowy (7.96) dla prostok�tnej siatki utworzonej przezproste:i nast�pnie dla tej siatki wyprowadzi� wzory dla metod iteracyjnych: Jacobiego,Gaussa-Seidela i relaksacji, których szczególnymi przypadkami b�d� wzory(7.104) -(7.106).7.8.Za pomoc� zmodyfikowanych programów 7.3���7.5 rozwi�za� równaniePoissonaz warunkami brzegowymi:Otrzymane rozwi�zanie porówna� z rozwi�zaniem dok�adnym7.9.Wprowadzi� w programie 7.3 drug� alternatyw� oblicze�, umo�liwiaj�c�wyznaczenie rozwi�zania zagadnienia (7.108) za pomoc� metod iteracyjnych:Jacobiego, Gaussa-Seidela i relaksacji - otrzymanych przy wykorzystaniuschematów (7.99) do aproksymacji operatora Laplace�a7.10.Opracowa� program komputerowy przeznaczony do rozwi�zywania zagadnieniabrzegowego (7.108) - (7.109) metod� ró�nic sko�czonych (7.100).Dorozwi�zywania równania macierzowego (7.101) nale�y zastosowa� algorytm metodyeliminacji Gaussa (2.101) � (2.103) z uwzgl�dnieniem szczególnej postacimacierzy le��cych na przek�tnej g�ównej i przek�tnych pobocznych.7.11.Przy wykorzystaniu programów 7.3���7.5 przetestowa� rozwa�ane wrozdzia�ach 7.5 i 7.6 metody iteracyjne rozwi�zywania siatkowych równa�eliptycznych dla zagadnienia:którego rozwi�zaniem dok�adnym jest funkcja [ Pobierz całość w formacie PDF ]