[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.gdzie:Wspó³czynnik obliczamy oddzielnie stosuj¹c kwadraturê (5.30).5.6.Aproksymacja funkcjami sklejanymiFunkcje sklejane dziêki swoim znakomitym w³asnoœciom s¹ czêsto wykorzystywanedo aproksymacji rozmaitych funkcji i wyg³adzania danych eksperymentalnych.Wniniejszym rozdziale ograniczymy siê do przedstawienia dwu zagadnieñaproksymacji funkcji okreœlonych na dyskretnym zbiorze argumentów za pomoc¹funkcji sklejanych trzeciego stopnia.Pierwsze z tych zagadnieñ dotyczy aproksymacji œredniokwadratowej.Zapisuj¹cfunkcjê sklejan¹ trzeciego stopnia w postaci kombinacji liniowejznormalizowanych B-funkcji (4.120) z warunku (5.64) na minimum odchyleniakwadratowego(5.99)przy za³o¿eniu, ¿e n > m + 3, otrzymujemy uk³ad normalny (5.67) dla wspó³czyn-ników(5.100)gdzie:Z definicji B-funkcji sklejanych (4.117) - (4.118) oraz z rysunku 4.18 wynika,¿e(5.101)co oznacza tym samym, ¿e macierz wspó³czynników uk³adu równañ (5.100) jestsymetryczn¹ macierz¹ siedmiodiagonaln¹.Uk³ad równañ (5.100) mo¿na zatemprzed-stawiæ w postaci(5.102)gdzie:Do rozwi¹zania tego uk³adu równañ mo¿na wiêc zastosowaæ algorytm opisanywzorami (2.99) - (2.100), co w istotny sposób upraszcza zadanie wyznaczaniaaproksymacyjnej funkcji sklejanej trzeciego stopnia.*Jako drugie zagadnienie rozwa¿ymy zadanie wyg³adzania funkcji , która nazbiorze punktów: przyjmuje wartoœci:Wyg³adzaj¹c¹ funkcjê sklejan¹ trzeciego stopnia, która przechodzi bliskozadanych punktów i jest bardziej g³adka ni¿ interpolacyjna funkcja sklejanatrzeciego stopnia wyznaczymy minimalizuj¹c funkcjona³(5.103)gdzie wspó³czynniki s¹ wagami, - dodatkowym parametrem.Jeœli wszystkiewartoœci s¹ okreœlone z jednakow¹ dok³adnoœci¹, wtedy przyjmujemy W punktach, wktórych wartoœci okreœlone s¹ z inn¹ dok³adnoœci¹, ni¿ w pozosta³ych -przyjmujemy Dla funkcja aproksymuj¹ca jest funkcj¹ interpolacyjn¹.Niech bêdzie funkcj¹ sklejan¹ trzeciego stopnia z wêz³ami w punktach: , adowoln¹, dwukrotnie ró¿niczkowaln¹ funkcj¹ aproksymujac¹.Z (5.103) mamy(5.104)Wystêpuj¹c¹ w wyra¿eniu (5.104) ca³kêprzekszta³cimy ca³kuj¹c przez czêœciPrzy wyprowadzaniu tego zwi¹zku wykorzystano fakt, ¿e jest sta³a dla Dlaci¹g³ej funkcji otrzymujemyi ostatecznie dla funkcji sklejanej spe³niaj¹cej warunki:(5.105)nazywanej naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹, jest(5.106)Po podstawieniu (5.106) do (5.104) stwierdzamy, ¿e funkcja sklejana trzeciegostopnia, spe³niaj¹ca warunki wynikaj¹ce ze znikania mno¿ników stoj¹cych przywy-razach(5.107)minimalizuje funkcjona³ (5.103), a tak¿e ca³kê (4.106), gdy¿ wtedy i tylkowtedy, gdyZ warunków (5.107) i wzorów okreœlaj¹cych trzecie pochodnewynika uk³ad równañ:(5.108)(5.108cd.)Zak³adaj¹c, ¿e jest interpolacyjn¹, naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹ wzglêdem samejsiebie, do³¹czymy do uk³adu (5.108) równanie (4.78).Po podstawieniu do (4.78)zwi¹zków dla uzyskamy uk³ad równañ okreœlaj¹cy drugie pochodne wyg³adzaj¹cejfunkcji sklejanej trzeciego stopnia(5.109)gdzie:*Zadaniem programu 5.4 jest wyznaczanie przybli¿eñ œredniokwadratowych funkcjiokreœlonej na dyskretnym zbiorze punktów za pomoc¹ wielomianowej funkcjisklejanej trzeciego stopnia.Program dzia³a w podobny sposób jak program 5.2;wczytywana z klawiatury wartoœæ zmiennej m oznacza w tym przypadku liczbêrównoodleg³ych wêz³Ã³w funkcji sklejanej.Wystêpuj¹ca w programie 5.4 procedura funkcyjna Bf(i,x,a,h) jest przeznaczonado obliczania wartoœci funkcji wed³ug wzorów (4.117) - (4.118); parametr ioznacza numer wêz³a, x jest zadan¹ wartoœci¹ odciêtej, a - pocz¹tkiemprzedzia³u, h - sta³¹ odleg³oœci¹ miêdzy wêz³ami.{Program 5.4}usesCrt,Graph;constmmax=51;typeWekt1=array[0.mmax] of Real;Wekt2=array[0.500] of Real;Wekt3=array[1.1000] of Real;vari,j,k,n,m,Q,st,tr,X0,Y0,ZX,ZY: Integer;a,b,bl,det,h,odch,ep,la,x,y,y1,y2: Real;al,be,ga,de: array[-4.mmax] of Real;qq: array[-1.mmax] of Real;c: array[-3.4] of Real;xx,yy,Xekr,Yekr: Wekt3;der2,xw,yw: Wekt1;xp,yp: Wekt2;plik: Text;zn: Char;label powt;function f(x: Real): Real;beginf:=1/(1+25*x*x);end;function Bf(j,x,a,h: Real): Real;vars,xx: Real;begins:=0;xx:=a+j*h;xx:=Abs((x-xx)/h);if (xx>=0) and (xx1) and (xx
[ Pobierz całość w formacie PDF ]